Урок 01

Показникова функція та її властивості

Математика, алгебра і початки аналізу, рівень стандарту (нова програма)

Комплектація:

  • анімована навчальна презентація з елементами інтерактивності та запитаннями до учнів, також містить анімовану подачу актуалізації опорних знань учнів; анімовано означення показникової функції та детальну побудову графіку показникової функції; наочно анімовано побудову різних графіків показникової функції в залежності від основи та проаналізовано поведінку різних графіків логарифмічної функції в залежності від основи; проанімовано властивості степеня з дійсним показником на основі властивостей степеня з раціональним показником; анімовано наведено властивості показникової функції з детальним поясненням та ілюстрацією короткого запису властивостей показникової функції у конспектах учнів; розглянуто питання показникової функції з кутовим коефіцієнтом дотичної до її графіка в точці, який дорівнює одиниці; анімовано побудову графіку експоненти; розглянуто різні процеси, що описує показникова функція та наведено відповідні формули. Для кращого засвоєння матеріалу презентація має 20 завдань (детальні розв'язки яких наведені у конспекті до уроку)
  • конспект, що супроводжує презентацію з детальними розв'язками та поясненнями а такаж запитаннями (з відповідями) до учнів

Тема: Показникова функція та її властивості

Мета:

  • Навчальна: засвоїти означення показникової функції, властивості показникової функції, навчитися будувати графіки показникової функції; засвоїти властивості степенів з дійсним показником на основі властивості степенів з раціональним показником
  • Розвиваюча: розвивати вміння аналізувати графіки показникової функції та користуючись побудованими графіками аналізувати властивості показникової функції;
Carousel imageCarousel imageCarousel imageCarousel imageCarousel imageCarousel image
  • Виховна: виховувати інтерес до вивчення точних наук, показати, де саме застосовують у житті властивості показникової функції;

Тип уроку: засвоєння нових знань;

Обладнання: опорний конспект, навчальна презентація, мультимедійне обладнання, презентер;

Увага! Автоматичний показ змісту матеріалу, реальний зміст відрізняється від автоматизованої подачі (Автоматизований режим не показує формули, графіки, геометричні побудови та багато чого іншого і має не правильну структуру - це лише поверховий огляд текстового наповнення матеріалу)

____ ________________ 20___ р. [ дата ]Тема: Показникова функція та її властивостіМета:· Навчальна: засвоїти означення показникової функції, властивості показникової функції, навчитися будувати графіки показникової функції; засвоїти властивості степенів з дійсним показником на основі властивості степенів з раціональним показником;· Розвиваюча: розвивати вміння аналізувати графіки показникової функції та користуючись побудованими графіками аналізувати властивості показникової функції;· Виховна: виховувати інтерес до вивчення точних наук, показати, де саме застосовують у житті властивості показникової функції;Компетенції:· Спілкування державною мовою (уміння ставити запитання і розпізнавати проблему; міркувати, робити висновки на основі інформації, поданої в науковій презентації)Тип уроку: засвоєння нових знань;Обладнання: опорний конспект, навчальна презентація, мультимедійне обладнання, презентер;Хід уроку I. Організаційний етап· Привітання· Перевірка присутніх на уроці· Налаштування на роботу II. Актуалізація опорних знань· Числовою функцією називається….Числовою функцією з областю визначення називається залежність, при якій кожному числу із множини (області визначення) ставиться у відповідність єдине число . – аргумент(незалежна змінна), – функція(залежна змінна) – функція – значення функції у точці · Графіком функції називається…Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини з координатами .Ø Область визначення функції…Область значень функції – це множина тих значень, яких може набувати аргумент . Позначення: Ø Область значень функції…Область значень функції – це множина, яка складається із всіх чисел , де належить області визначення. Її позначають .Ø Функція зростаюча, якщо…Функція називається зростаючою на множині , якщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає більше значення функції.Ø Функція спадна, якщо…Функція називається спадною на множині , якщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає менше значення функції.· Які існують типи чисел?Натуральні числа (лат. «natura» - природа)Натуральні числа – числа, що виникають природним чином при лічбі.Ø Наведіть приклади натуральних чисел Цілі числаЦілі числа – це натуральні числа, протилежні їм числа і число нуль.Ø Наведіть приклади цілих чисел Раціональні числаРаціональні числа – додатні числа (цілі та дробові), від’ємні числа (цілі та дробові), число нуль.Ø Наведіть приклади раціональних чисел Дійсні числаМножина раціональних та ірраціональних чисел(числа, які не можуть бути виражені за допомогою відношення цілих чисел, їх можна виразити за допомогою нескінченних неперіодичних десяткових дробів)Ø Наведіть приклади дійсних чисел Комплексні числаКомплексні числа можна подати у вигляді як формальну суму , – дійсні числа, – уявна одиниця Ø Наведіть приклади комплексних чисел Ø Чи існують інші типи чисел?Кватерніони й октоніони є прикладами гіперкомплексних чисел.III. Вивчення нового матеріалу· Показникова функціяФункція виду називається показниковою.Наприклад: Побудуємо для деяких цілих значень.Тепер на цьому ж графіку добудуємо деякі дробові значення функціїЯкщо побудуємо всі значення з множини , то отримаємо графік показникової функції (можливий інший запис, наприклад: ).*Кожна точка цього графіка є степенем числа 2 з дійсним показником .o Чи існує функція при o Існує, але це вже буде не показникова функція. Графіком такої функції є пряма.o Чи може отриманий графік показникової функції перетнути вісь абсцис?o Ні, навіть якщо ми візьмемо від’ємний показник степеня, то завжди отримаємо додатне значення Отже, вісь є асимптотою цього графіка.*Асимпто́та криво́ї (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при віддаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.Проаналізуємо графіки показникової функції при і :o Що можемо сказати про ці функції на перший погляд?(при функція зростаюча, при функція спадна)Побудуємо деякі графіки функцій при і Чим більшою є основа , тим крутіше «піднімається» графік функції , якщо рухатися вправо.Чим меншою є основа , тим крутіше «піднімається» графік функції , якщо точка рухається вліво.o Пригадаємо властивості степеня з раціональним показником. Всі ці властивості справедливі для та будь-яких дійсних · Властивості показникової функції1. (Областю визначення показникової функції є множина дійсних чисел)2. (Областю значень показникової функції є множина )3. при всіх значеннях (Показникова функція немає нулів, і проміжок є проміжком її знакосталості)4. При зростаюча (При зростає на всій області визначення)При спадна (При спадає на всій області визначення)· ЦікавоРозглянемо графіки показникових функцій .У них кутовий коефіцієнт дотичної проведеної в точці до графіка менший за одиницю або більший за одиницю.o Чи існує така показникова функція, щоб кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка в т. дорівнював 1?Якщо за основу показникової функції взяти ірраціональне число Така показникова функція називається експонентою.o Чому графік кожної показникової функції обов’язково проходить через точку ?· Процеси, що описує показникова функціяПоказникова функція описує значну кількість процесів, що відбуваються в природі. Наприклад, зростання кількості бактерій за сприятливих для них умов існування можна описати за законом ( ). o Як людина використовує ріст і розмноження бактерій?(Виробництво антибіотиків, кисломолочних продуктів, виноробство, медицина)o Зростання кількості деревини можна порахувати за законом ( )o Зменшення маси речовини під час радіоактивного розпаду відбувається за законом ( – початкова маса речовини, – маса в момент часу , – період напіврозпаду речовини (час розпаду половини атомів заданої речовини))o Зменшення тиску повітря з висотою відбувається за законом ( – тиск на рівні моря, – тиск на висоті , - сталі)IV. Закріплення нових знань та вмінь учнів№1Яка з даних функцій є показниковою:1) 2) 3) 4) №2Грунтуючись на які властивості показникової функції можна стверджувати, що:1) 2) ? Відповідь: При показникова функція є зростаючою, при – спадною.№3Побудуйте графік функції . У яких межах змінюється значення функції, коли зростає від до включно?Розв’язок:Відповідь: значення функції змінюється від до .№4Порівняйте: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
№5Обчисліть значення виразу:1) Розв’язок:2) Розв’язок:3) Розв’язок:4) Розв’язок:№6Чи є правильним твердження:1) Найбільше значення функції на проміжку дорівнює 5;Розв’язок: – спаднаНа проміжку її найбільшим значенням буде , отже твердження правильне.2) Областю визначення функції є множина дійсних чисел;Розв’язок:Твердження правильне, за означенням показникової функції.3) Областю значень функції є проміжок Розв’язок:Твердження не правильне.4) Найменше значення функції на проміжку дорівнює 16Розв’язок:Твердження не правильне.№7На якому проміжку найбільше значення функції дорівнює 16, а найменше дорівює Розв’язок:Відповідь: №8Графік якої з функцій, зображених на рисунках, перетинає графік функції більше ніж в одній точці V. Підсумок уроку· Яку функцію називають показниковою?· Чи може показникова функція перетнути вісь абсцис?· Які властивості має степінь з дійсним показником?· Зобразіть схематично графік функції при ; при · Через яку точку проходять всі графіки всіх показникових функцій?· Користуючись побудованими графіками показникових функцій, охарактеризуйте всі їх властивості· Що називають експонентою?· Яку цікаву особливість має експонента?· За якої умови показникова функція зростає? А за якої – спадає?· Чи може значення показникової функції бути від’ємним?· Чи може значення показникової функції дорівнювати нулю?VI. Домашнє завданняОпрацювати §1 (ст. 6-9)Виконати № 1.5; 1.7; 1.11; 1.17 Мерзляк А.Г.Опрацювати §1Виконати № 1,5; 1.7; 1.9; 1.21; Істер О.С.Опрацювати §1Виконати № 1.2(2,4); 1.6(3-7); 1.7; 1.11(2); Нелін Є.П.Опрацювати §1Виконати № 8; 23; 27(в); 31;Бевз Г.П.